00:00:14 → 00:00:20 อาจจะดูขัดกัน หรือเหมือนกับตลกร้าย แต่นี่เป็นเรื่องจริง

00:00:20 → 00:00:25 บีโธเฟน ผู้ประพันธ์บทเพลงอันเลื่องชื่อ ในประวัติศาสตร์การดนตรีนั้น

00:00:25 → 00:00:28 ใช้ชีวิตการทำงานส่วนใหญ่ในฐานะคนหูหนวก

00:00:29 → 00:00:34 แล้วถ้าอย่างนั้น เขาสร้างสรรค์บทเพลง ที่ประณีตและลื่นไหลได้อย่างไรกัน

00:00:34 → 00:00:38 คำตอบอยู่ในแบบแผนที่ซ่อนอยู่ ภายใต้ท่วงทำนองอันงดงาม

00:00:38 → 00:00:41 ลองดูเพลง "มูนไลท์ โซนาตา" อันโด่งดัง เป็นตัวอย่าง

00:00:41 → 00:00:45 เริ่มต้นด้วยท่วงทำนองที่ช้าและสม่ำเสมอ ของโน้ตที่ร้อยเรียงกันเป็นโน้ตสามพยางค์

00:00:45 → 00:00:50 หนึ่ง-และ-แอะ-สอง-และ-แอะ-สาม-และ-แอะ

00:00:54 → 00:00:56 ถึงแม้ฟังเผิน ๆ อาจจะเหมือนเรียบง่าย

00:00:56 → 00:01:00 แต่โน้ตสามพยางค์แต่ละชุด ก็มีโครงสร้างของท่วงทำนองที่สง่างาม

00:01:00 → 00:01:05 เผยให้เห็นความสัมพันธ์อันน่าทึ่ง ระหว่างดนตรีกับคณิตศาสตร์

00:01:05 → 00:01:06 บีโธเฟนเคยพูดไว้ว่า

00:01:06 → 00:01:10 ผมมักจะมีภาพอยู่ในหัวเวลาที่แต่งเพลง และผมก็แต่งไปตามภาพนั้น

00:01:11 → 00:01:16 เช่นเดียวกัน เราสามารถนึกภาพ คีย์เปียโน 1 อ๊อกเทฟ ซึ่งมี 13 คีย์ได้

00:01:16 → 00:01:18 แต่ละคีย์ห่างกันครึ่งเสียง

00:01:18 → 00:01:23 บันไดเสียงเมเจอร์และไมเนอร์มาตรฐาน จะมีทั้งหมด 8 คีย์

00:01:23 → 00:01:27 โดยมีขั้นคู่เต็มเสียง 5 ขั้น และขั้นคู่ครึ่งเสียง 2 ขั้น

00:01:27 → 00:01:29 ตัวอย่างเช่น ในห้องที่ 50 ครึ่งแรก

00:01:29 → 00:01:32 ประกอบด้วยโน้ต 3 ตัว ในบันไดเสียง ดี เมเจอร์

00:01:32 → 00:01:37 แต่ละตัวห่างกันเป็นขั้นคู่ 3 คือเว้นโน้ตตัวถัดไปในบันไดเสียงนั้น

00:01:37 → 00:01:43 ถ้ารวมโน้ตตัวที่ 1 3 และ 5 ใน ดี เมเจอร์ คือ ดี เอฟชาร์ป และเอ เข้าด้วยกัน

00:01:43 → 00:01:47 ก็จะได้รูปแบบของเสียงประสาน ที่เรียกว่า ไทรแอด (triad)

00:01:47 → 00:01:50 แต่มันไมใช่ตัวเลขมหัศจรรย์ ที่กำหนดขึ้นมาเฉย ๆ

00:01:50 → 00:01:52 ตัวเลขเหล่านี้แสดงถึง ความสัมพันธ์ทางคณิตศาสตร์

00:01:52 → 00:01:58 ระหว่างความถี่ของโน้ตแต่ละตัว ซึ่งทำให้เกิดอนุกรมเรขาคณิต

00:01:58 → 00:02:01 ถ้าเริ่มจากโน้ต เอ3 ความถี่ 220 เฮิรตซ์

00:02:01 → 00:02:04 ค่าอนุกรมจะแสดงได้ ด้วยสมการนี้

00:02:04 → 00:02:07 ให้ n แทน ตัวโน้ตที่ต่อเนื่องกันบนคีย์บอร์ด

00:02:07 → 00:02:14 นำโน้ตสามพยางค์ในบันไดเสียง ดี เมจอร์ จาก มูนไลท์ โซนาตาแทนค่า n เป็น 5 9 และ 12

00:02:14 → 00:02:19 แล้วนำค่าเหล่านี้ไปใส่ในฟังก์ชั่น เราจะสร้างกราฟของคลื่นไซน์ของแต่ละโน้ตได้

00:02:19 → 00:02:23 ซึ่งแสดงให้เราเห็นรูปแบบของคลื่น ที่บีโธเฟนไม่ได้ยิน

00:02:23 → 00:02:25 เมื่อสร้างกราฟของคลื่นไซน์ทั้ง 3 เส้นแล้ว

00:02:25 → 00:02:32 จุดตัดของทั้ง 3 เส้นจะอยู่ที่จุดเริ่มต้น ที่ 0,0 และตัดกันอีกครั้งที่จุด 0,0.042

00:02:32 → 00:02:36 ในช่วงกว้างนี้ คลื่นไซน์ของโน้ตตัว ดี จะสิ้นสุด 2 รอบพอดี

00:02:36 → 00:02:40 เอฟชาร์ป จะเป็น 2 รอบครึ่ง ส่วน เอ จะเป็น 3 รอบ

00:02:40 → 00:02:45 แบบแผนนี้ให้เสียงประสานที่กลมกลืน ซึ่งเป็นเสียงที่ฟังรื่นหูโดยธรรมชาติ

00:02:45 → 00:02:50 แต่สิ่งที่อาจมีเสน่ห์พอ ๆ กันก็คือ การใช้เสียงที่ไม่กลมกลืนของบีโธเฟน

00:02:50 → 00:02:53 ลองดูห้องที่ 52 ถึง 54

00:02:53 → 00:02:56 ซึ่งเป็นโน้ตสามพยางค์ ที่ประกอบด้วยโน้ต บี และ ซี

00:02:56 → 00:03:01 จากกราฟไซน์ของโน้ตทั้งสอง คลื่นจะไม่เข้าจังหวะกันอย่างยิ่ง

00:03:01 → 00:03:03 แทบจะไม่มีทางตรงกันเลย

00:03:03 → 00:03:05 และด้วยการใช้เสียงที่ไม่กลมกลืนที่ต่างกันนี้

00:03:05 → 00:03:09 ตัดกับเสียงประสานที่กลมกลืนของไทรแอด ในบันไดเสียง ดี เมเจอร์ ในห้องก่อนหน้านี้

00:03:09 → 00:03:14 บีโธเฟนได้ใส่องค์ประกอบทางอารมณ์ และความคิดสร้างสรรค์อย่างมหาศาล

00:03:14 → 00:03:16 เข้าไปในความแน่นอนของคณิตศาสตร์

00:03:16 → 00:03:18 สร้างสิ่งที่ เฮกเตอร์ เบอร์ลิออซ บรรยายไว้ว่า

00:03:18 → 00:03:23 "เป็นหนึ่งในบทกวีที่ภาษา ของมนุษย์มิอาจเอื้อม"

00:03:23 → 00:03:28 ดังนั้น แม้ว่าเราจะค้นพบรูปแบบ ทางคณิตศาสตร์ที่ซ่อนอยู่ในบทเพลง

00:03:28 → 00:03:31 แต่เราก็ยังไม่อาจรู้ได้ว่า เหตุใดลำดับของรูปแบบเหล่านี้

00:03:31 → 00:03:35 จึงกระทบจิตใจผู้ฟัง ได้ในแง่ลักษณะหนึ่ง

00:03:35 → 00:03:36 อัจฉริยภาพอันแท้จริงของบีโธเฟนนั้น

00:03:36 → 00:03:40 ไม่ใช่เพียงแค่เขาเห็นถึงรูปแบบได้ โดยที่ไม่ได้ยินเสียงเพลง

00:03:40 → 00:03:42 เขารับรู้ถึงความรู้สึกที่เกิดขึ้นได้ด้วย

00:03:42 → 00:03:44 เจมส์ ซิลเวสเตอร์ เขียนไว้ว่า

00:03:44 → 00:03:47 "นอกจากจะกล่าวได้ว่า ดนตรี คือคณิตศาสตร์แห่งอารมณ์แล้ว

00:03:47 → 00:03:50 จะกล่าวได้อีกอย่างหรือไม่ ว่า คณิตศาสตร์ก็คือดนตรีแห่งเหตุผล"

00:03:50 → 00:03:54 นักดนตรีรู้สึกถึงคณิตศาสตร์ นักคณิตศาสตร์คิดเป็นดนตรี

00:03:54 → 00:03:58 ดนตรีเป็นดั่งความฝัน คณิตศาสตร์เป็นดั่งชีวิตที่ดำเนินไป